光学 精密工程  2018, Vol.26 Issue (11): 2744-2753   PDF    
压电执行器动态迟滞建模与LQG最优控制器设计
张泉1,2,3, 尹达一1,2,3, 张茜丹1,2,3     
1. 中国科学院 红外探测与成像技术重点实验室, 上海 200083;
2. 中国科学院大学, 北京 100039;
3. 中国科学院 上海技术物理研究所, 上海 200083
摘要: 为提高空间天文望远镜稳像系统中压电快摆镜(Fast Steering Mirror,FSM)的动态性能,对压电执行器(Piezoelectric Actuator,PZT)动态迟滞补偿和控制进行研究。鉴于基于广义Play算子Prandtl-Ishlinskii(PI)模型的求逆复杂性和迟滞曲线的非对称性,构造一种基于广义Stop算子PI逆模型来补偿压电执行器迟滞非线性。采用Hammerstein模型对压电执行器动态迟滞特性进行建模,以广义PI模型和自回归遍历模型(Auto-regressive Exogenous Model,ARX)分别表征Hammerstein迟滞模型中的静态非线性和率相关性,并针对迟滞率相关模型不确定性问题,提出一种前馈补偿和线性二次型Gauss最优控制算法(Linear Quadratic Gaussian,LQG)相结合的复合控制策略。利用自适应差分进化算法(Adaptive Differential Evolution algorithm,ADE)辨识和整定模型及控制器参数。实验结果表明:该动态迟滞模型能够有效描述1~100 Hz频率范围内压电执行器迟滞曲线,拟合均方根误差为0.077 1 μm(@1 Hz)~0.512 3 μm(@100 Hz),相对误差为0.31%(@1 Hz)~2.09%(@100 Hz);实时跟踪幅值为24.5 μm的变频目标位移,LQG控制算法的跟踪精度相比于直接前馈控制和PID控制分别提高48.6%和27.02%。
关键词: 压电执行器      动态迟滞特性      Hammerstein模型      广义Stop算子      LQG最优控制     
Dynamic hysteresis modeling and LQG optimal controller design of piezoelectric actuators
ZHANG Quan1,2,3 , YIN Da-yi1,2,3 , ZHANG Xi-dan1,2,3     
1. CAS Key Laboratory of Infrared System Detection and Imaging Technology, Shanghai Institute of Technical Physics, Shanghai, 200083;
2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100039, China;
3. Shanghai Institute of Technical Physics of the Chinese Academy of Sciences, Shanghai 200083, China
*Corresponding author: ZHANG Quan, E-mail:18672323050@126.com
Abstract: To improve the dynamic performance of a piezoelectric fast steering mirror in the space-telescope image-stabilization system, the dynamic hysteresis compensation and control of a piezoelectric actuator are investigated. According to the inversion complexity of the PI model based on the generalized Play operator and the asymmetry of hysteresis curves, a PI inverse model based on the generalized Stop operator is constructed to compensate the hysteresis nonlinearity. The Hammerstein model is applied to model the dynamic hysteresis of the piezoelectric actuator and to describe the static nonlinearity and rate-dependent properties of the Hammerstein hysteresis model using the generalized PI and auto-regressive exogenous models, respectively. A compound counter strategy that combines the feedforward compensation and linear quadratic Gauss (LQG) optimal control algorithm is proposed to solve the hysteresis rate dependent model uncertainty. The adaptive differential evolution algorithm is used to identify the model parameters and tune the controller parameters. The test results show that the dynamic hysteresis model can effectively describe the hysteresis curve of the piezoelectric actuator in the frequency range of 1-100 Hz, fitting tracking root mean square errors from 0.077 1 μm (at 1 Hz) to 0.512 3 μm (at 100 Hz), and relative errors from 0.003 1 (at 1 Hz) to 0.020 9 (at 100 Hz). The tracking accuracy of the LQG control algorithm increases by 48.6% and 27.02%, respectively, compared with the direct feedforward and PID controls, in the real-time tracking of the variable-frequency target displacement with an amplitude of 24.5 μm.
Key words: piezoelectric actuator     dynamic hysteresis     hammerstein model     generalized stop operator     LQG optimal control    
1 引言

空间天文望远镜主要通过快摆镜(Fast Steering Mirror,FSM)机构补偿卫星平台不稳定引起的像移,以实现稳像从而提高探测精度[1]。压电执行器(Piezoelectric Actuator,PZT)相比于音圈电机(Voice Coil Actuators,VCA)具有更高的谐振频率和位移分辨率,是稳像系统中快摆镜执行机构常用的驱动设备[2]。然而,PZT固有的迟滞非线性会对快摆镜像移补偿精度造成不利影响从而降低稳像系统的性能[3],并且这种迟滞特性是动态的、率相关的[4]。因此,需要对PZT动态迟滞特性和控制算法进行探究。

目前学术界普遍采用建立前馈补偿器的方法来消除压电迟滞非线性。胡亮亮[5]利用PI正逆模型之间参数对应关系建立迟滞逆模型有效补偿了压电迟滞非线性;方楚[6]设计了基于Stop算子的PI逆模型的前馈补偿器来消除压电迟滞,但是传统Play算子和Stop算子都不能表征出压电迟滞曲线的非对称特性;于志亮[7]对传统PI模型进行改进,将PI模型复杂的积分运算转换成输入变化量与输出变化量的单值映射关系,降低了PI模型的计算复杂度,并结合增量式PID算法提高了PZT的跟踪精度;田艳兵[8]建立的广义PI模型能够较好地描述迟滞曲线非对称性,然而给出的广义PI模型解析求逆过程复杂,而且没有考虑约束条件对模型可逆性的影响;陈远晟[9]采用改进PI模型与逆系统控制理论设计了压电精密定位控制器,对单一频率位移信号跟踪效果良好,但无法满足变频位移信号的跟踪需求;王钰锋[10]利用Hammerstein模型较好的描述了动态迟滞特性,但是采用的最小递推二乘法的参数辨识方法容易发散或陷入局部最优且辨识精度不高,另外设计的经典PID控制器初始阶段容易引起超调、精度有待提高。

本文利用Hammerstein模型对PZT动态迟滞特性进行建模,以广义PI模型和自回归遍历模型(Auto-regressive exogenous model,ARX)分别表征Hammerstein模型中的静态迟滞非线性和动态线性,利用自适应差分进化算法(ADE)辨识模型参数,建立的动态迟滞模型能够有效描述1~100 Hz频率范围内压电执行器迟滞曲线。

针对基于Play算子的PI模型求逆复杂和PZT迟滞曲线非对称的问题,构造了一种基于广义Stop算子的PI逆模型的前馈补偿器。在考虑模型不确定性和输出信号量测噪声的情况下,提出了前馈补偿和LQG最优控制算法相结合的复合控制策略,并通过ADE算法优化控制器参数,实验结果验证了该复合控制策略优于传统控制策略。

2 PZT Hammerstein动态迟滞模型

Hammerstein模型是表征非线性系统模型的有效方式,其由一个非线性静态模块和一个线性动态模块串联而成[11]。当驱动信号频率较低时,PZT迟滞曲线呈现出率无关性;当频率较高时,迟滞曲线表现出率相关性,如图 1所示。因此,可以采用Hammerstein模型来描述压电的动态迟滞特性,其中用广义PI模型表示迟滞静态非线性,用ARX模型表示迟滞动态特性[12]

图 1 PZT迟滞率相关性 Fig.1 Rate-dependent characteristic of PZT hysteresis
2.1 广义PI模型 2.1.1 基于广义Stop算子的PI逆模型

压电迟滞特性是指输入输出之间的非线性关系,基于Stop算子的PI模型是由一定数量Stop算子按权重累加得到的,Stop算子的轨迹与Play算子相反,两者是互补关系,相加即为输入信号,如式(1)所示:

(1)

其中:u(k)为驱动电压,Fr(k)为Play算子,Er(k)为Stop算子。

Stop算子的离散数学表达式[6]如式(2)所示:

(2)

其中:y(k)为输出位移,Er(k)为算子值,ri为算子阈值,1≤iNN为算子数量,Er0为算子初值。因为PZT的驱动电压为正,所以文中采用单边Stop算子,如式(3)所示:

(3)

式(3)表示的Stop算子为对称算子,无法有效描述非对称性逆迟滞曲线,受文献[8]的启发,提出广义Stop算子,如式(4)所示:

(4)

其中:fl(y(k))为上升曲线输出位移,fr(y(k))为下降曲线输入电压,a1a2b1b2都大于0。

将式(4)的广义Stop算子按一定的权重关系叠加可得出广义PI逆模型,如式(5)所示:

(5)

其中:y(k)为输出位移,q为初载曲线权重,pi为算子权重,N为算子数量,τρc均为大于零的常数。只要辨识出qτρca1a2b1b2参数值就可以直接建立逆模型来补偿压电迟滞非线性,既避免了复杂的求逆过程,而且建立的逆模型精度更高。

2.1.2 基于广义Play算子的PI模型

广义Play算子[8]如式(6)所示:

(6)

其中:u(k)为驱动电压,Fr(k)为算子值,ri为每个算子阈值Fr0为算子初值,fl(u(k))表示上升曲线压电驱动电压,fr(u(k))表示下降曲线驱动电压,a1a2b1b2都大于0。

将式(6)的广义Play算子按一定的权重关系叠加可得出广义PI模型,如式(7)所示:

(7)

其中:y(k)为输出位移,f(k)为初载曲线,q为初载曲线权重,1≤iNN为算子数量,pi为每个算子权重,ri为每个算子阈值,τρc均为大于零的常数。

基于广义Play算子的PI逆模型可以通过数学解析法求得,如式(8)所示:

(8)

其中q′,pi以及r′可以根据广义PI模型辨识的参数结果按照正逆模型对应的参数关系求出:

(9)
(10)
(11)

由式(9)~式(11)可知,解析法求逆模型参数过程复杂,而且正模型参数拟合的误差在逆模型参数求解过程中会发生累加,从而影响逆模型准确度。因此,文中采用基于广义Stop算子PI的逆模型来补偿迟滞静态非线性。

2.2 ARX模型

本文采用ARX模型来表示PZT迟滞的率相关性,ARX模型是离散系统传递函数模型[13],如式(12)所示:

(12)

式(12)对应的差分方程如式(13)所示:

(13)

其中:ε(t)为残差信号,out(t)为输出信号,out(t-1)为前一采样时刻输出信号,in(t)为输入信号,in(t-1)为前一采样时刻输入信号。

3 压电执行器Hammerstein模型辨识 3.1 自适应差分进化算法

差分进化算法(Differential Evolution,DE)是一种简单高效的全局寻优算法,其收敛快速、鲁棒性强[14]。自适应差分进化算法利用差分变异、杂交和选择等算子使群体不断进化,直至寻到最优值,在差分变异阶段采用自适应缩放因子,算法具体步骤为:

(1) 编码与初始化群体。假设模型的辨识参数有D个,则群体中第i个个体Xi表示如式(14)所示:

(14)

其中:xi(j)为在[ljuj]的随机均匀初始化实数,i=1,…,NPj=1,…,Dljuj分别为参数范围上界和下界。NP为种群数,文中根据文献[14]取NPD的10倍。

(2) 差分变异操作。将两个随机个体进行向量差缩放,再与待变异个体向量合成,如式(15)所示:

(15)

其中:r2r3Xbest为群体最优值,F为缩放因子,为了避免算法早熟,采用自适应的缩放因子,如式(16)所示:

(16)

算法开始时,缩放因子在F0和2F0之间,相对较大,这样可以保持个体多样性,避免局部收敛。随着迭代次数增加,缩放因子逐渐变小从而保留优良信息,增加搜索到全局最优解概率,文中模型辨识缩放因子初值设置为F0=0.5。在迭代过程中,为了保证所生成的变异向量每一维均满足边界约束条件[ljuj],则对违约自变量在边界范围内用随机法重新生成。

(3) 杂交操作。DE算法的杂交算子主要包括二项式杂交算子(binomial crossover)和指数杂交算子(exponential crossover),文中ADE算法采用二项式杂交算子,如式(17)所示:

(17)

其中:j=1,…,Djrand为[1,D]之间随机整数,使向量Ui至少有一维来自变异算子,CR的取值与具体问题相关,文中取0.9。

(4) 选择操作。DE采用贪婪算法,将子个体与父个体进行比较,较优者进入下一代种群中,如式(18)所示:

(18)

其中f(Xi)为个体Xi的目标函数值。

3.2 数据采集系统搭建

数据采集系统由SGS微位移传感器、SGS信号调理电路、主控模块、功率放大电路及PI公司的P-845.20压电执行器组成,如图 2(a)所示,其中SGS信号调理电路采用文献[15]的电路,主控模块采用半实物实时仿真平台。主控模块产生PZT驱动信号,经过功率放大电路驱动PZT,SGS信号调理电路将检测到的实际位移反馈给主控模块,实际系统搭建如图 2(b)所示。

图 2 实验系统 Fig.2 Experimental system

主控模块首先产生幅值为8 V,频率为1 Hz的正弦信号,经功率放大电路幅值放大10倍后对PZT进行驱动,得到PZT微位移信号,AD的采样频率为10 kHz。然后,系统再产生幅值为80 V,频率范围为1~100 Hz的扫频驱动信号,得到1~100 Hz扫频微位移信号。

3.3 模型参数辨识

Hammerstein模型框图如图 3所示,首先由1 Hz的输入输出信号辨识出基于广义Play算子的PI模型来表示迟滞率无关非线性部分,再将1~100 Hz的扫频输入信号带入PI迟滞模型得到中间量v(k),然后由v(k)和输出位移y(k)辨识出ARX模型。

图 3 Hammerstein模型框图 Fig.3 Block diagram of Hammerstein model
3.3.1 PI迟滞模型辨识

采用ADE算法辨识基于广义Stop算子的PI模型参数a1a2b1b2qτρc,算子数设为50,系统中的目标函数为:

(19)

其中F为模型驱动电压数据和实际驱动电压数据的均方根误差,N为数据样本数。

设ADE的迭代次数为500,种群数NP=120,交叉概率CR=0.9,缩放因子初值F0=0.5,基于广义Stop算子和广义Play算子的PI逆模型参数辨识结果如表 1所示。

表 1 PI逆模型参数 Tab. 1 PI inverse model parameters

表 1中的基于广义Play算子的PI模型参数值代入式(9)~式(11)求解PI逆模型参数,得到的逆模型拟合精度低于基于广义Stop算子PI逆模型,如表 2图 4所示,因此选择基于广义Stop算子的PI逆模型作为本文系统非线性前馈补偿器。

表 2 基于不同算子的PI逆模型拟合精度 Tab. 2 Fitting accuracy of PI inverse model based on different operators

图 4 拟合逆迟滞曲线与实际逆迟滞曲线 Fig.4 Fitting inverse hysteresis curve and actual inverse hysteresis curve
3.3.2 ARX模型辨识

将1~100 Hz的扫频驱动电压u(k)带入上一节辨识出的PI正模型得到中间量v(k),然后根据v(k)和输出位移y(k)参考文献[13],动态线性系统的阶次选择2阶,得到式(20)的离散差分方程:

(20)

为了使线性系统为最小相位系统,需要满足全部零点、极点都在Z平面的单位圆内[16],所以设b2a1a2的取值范围为(-1,1),利用ADE算法辨识方程中的参数,目标函数如式(21)所示:

(21)

最后得到的ARX离散传递函数为:

(22)

连续传递函数为:

(23)

将1~100 Hz频率范围内的实际迟滞曲线与所建立的动态迟滞模型进行比较,如图 5所示,拟合迟滞曲线与实际均方根误差和相对误差如表 3所示。

图 5 1~100 Hz频率内拟合迟滞曲线与实际迟滞曲线 Fig.5 Fitting hysteresis curve and actual hysteresis curve with the range of 1~100 Hz frequencies

表 3 迟滞曲线拟合误差 Tab. 3 Fitting error of hysteresis curve

图 5表 3可知,所建立的动态迟滞模型可以有效描述出1~100 Hz频率内PZT迟滞曲线。

4 复合控制策略实现

本文采用前馈补偿与线性二次型Gauss最优控制算法(Linear Quadratic Guass,LQG)相结合的复合控制策略,控制框图如图 6所示。

图 6 复合控制框图 Fig.6 Compound control block diagram
4.1 前馈补偿器设计

前馈补偿器由Hammerstein模型的逆模型构成,包括ARX逆模型和PI逆模型。

式(23)的ARX传递函数模型是严格正则的,其逆模型为非正则,违反因果定律,实际中无法实现,所以取ARX模型的延迟逆,如式(24)所示:

(24)

当采样率足够大时,G-1(z)近似等于ARX传递函数的倒数,系统的采样率为10 kHz。

经过前文的比较,基于广义Stop算子的PI逆模型的拟合精度高于传统PI模型解析求得的逆模型,故采用基于广义Stop算子的PI逆模型来补偿迟滞静态非线性。

4.2 LQG最优控制器设计

考虑到动态线性模型的不确定性和PZT微位移的检测噪声,针对线性动态系统设计LQG控制器。状态变量x(t)描述系统内部每个时刻所处状态,与输入变量u具有因果关系,状态变量的选取不具有唯一性。本文根据系统的传递函数来建立状态空间表达式,状态变量x(t)为传递函数分解成串联的两部分时引入的中间变量,如式(25)所示:

(25)

其中:u(t)为输入变量,x(t)为状态变量,w(t)和v(t)分别为模型不确定性和微位移检测噪声,且为相互独立的零均值Gauss白噪声。

设计输入u(t)满足控制器最优指标函数,如式(26)所示:

(26)

其中:QR分别为状态变量和输入变量加权矩阵,Q为对称的半正定矩阵,R为正定矩阵。

根据文献[13],满足J最小化,则输入信号u(t)为:

(27)
(28)

其中:P(t)为对称矩阵,在系统稳态下,P(t)趋于常数矩阵,可由基于Schur分解算法求解式(29)得到:

(29)

由于微位移检测存在随机噪声,所以需要先求状态最优估计信号x*(t)使估计误差平方和的期望值最小,如式(30)所示:

(30)

其中x*(t)可以由Kalman滤波方程得出,如式(31)~式(33)所示:

(31)
(32)
(33)

其中:αβ分别是是输入噪声和检测噪声的有关参数。采用Daubechies三阶小波对系统输入输出数据噪声进行分析,α为1.272×10-9β为7.791×10-4

采用ADE算法对QR加权矩阵参数进行寻优,寻优结果如式(34)所示:

(34)

根据式(30)~式(32)得Kf=[3.084 94e-05;0.002 81];根据式(27)~式(29),得Ke=[0.001 49;0.003 75]。对系统进行阶跃响应仿真,如图 7所示,阶跃响应曲线无超调量,上升时间为0.001 26 s。

图 7 阶跃响应曲线 Fig.7 Step response curve
4.3 目标位移跟踪试验

为验证文中提出的复合控制策略的有效性,利用上文搭建的实验系统进行目标位移跟踪试验。实时跟踪频率范围为1~100 Hz的动态位移信号,并将基于LQG的复合控制策略与直接前馈开环控制策略以及基于PID的复合控制策略的跟踪曲线进行比较。以跟踪位移误差为目标函数,采用ADE算法对PID控制器的参数KdKiKp进行整定,设计最优PID控制器(Kp=3.587 2,Ki=4.943 1,Kd=0.012)。对比结果如图 8表 4所示。

图 8 各算法实时跟踪及误差曲线 Fig.8 Real-time tracking and error curve of each algorithm

表 4 不同控制策略跟踪精度 Tab. 4 Tracking precision of different control strategies

图 8表 4可知,前馈补偿结合LQG的复合控制策略相比于前馈补偿结合PID复合控制策略和直接前馈开环控制策略,跟踪精度更高,且高频段的算法性能更优。

5 结论

本文建立了压电执行器Hammerstein动态迟滞模型,分别以广义PI模型和自回归遍历模型(ARX)表示压电迟滞静态非线性和率相关性,并利用自适应差分进化算法(ADE)辨识模型参数。该动态迟滞模型能够有效描述1~100 Hz频率内压电执行器迟滞曲线,拟合均方根误差为0.077 1 μm(@1 Hz)~0.512 3 μm(@100 Hz),相对误差为0.31%(@1 Hz)~2.09%(@100 Hz)。

针对传统PI模型求逆复杂和迟滞曲线非对称的问题,利用基于广义Stop算子PI的逆模型来构造前馈补偿器,提出一种基于前馈补偿和LQG控制算法的复合控制策略。实时跟踪幅值为24.5 μm的变频目标位移,基于前馈补偿和LQG复合控制的跟踪均方根误差为0.131 8 μm(相对误差为0.54%),跟踪精度相比于直接前馈控制和PID控制分别提高了48.6%和27.02%。实验结果验证了基于前馈补偿和LQG复合控制的控制策略的有效性。

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