光学 精密工程  2018, Vol.26 Issue (10): 2438-2445   PDF    
工件圆度误差测量不确定度评定
王东霞, 温秀兰, 乔贵方     
南京工程学院 自动化学院, 江苏 南京 211167
摘要: 为了实现工件圆度误差的不确定度评定,对基于三坐标测量机的工件圆度轮廓数据的采样策略、圆度评定方法及不确定度评定方法进行研究。首先,根据工件圆度轮廓特征进行实验测量,获取不同工件的多个样本。接着,基于最小二乘法和微分进化优化算法对样本的圆度误差进行了误差评定。然后,在分析比较误差大小的基础上,说明了采用的采样策略和微分进化评定算法。最后,基于圆度误差评定结果运用了测量不确定度表示指南(GUM)和蒙特卡洛方法(MCM)进行不确定度评定。实验结果表明:微分进化算法与最小二乘法相比均值差最大达到1.1 μm,MCM方法比GUM方法得到的标准不确定度均值小0.02 μm。合理的采样点数、微分进化算法及MCM不确定度评定方法可以得到更稳定可靠、精度高的评定结果。
关键词: 圆度误差      不确定度评定      采样策略      微分进化      蒙特卡洛方法     
Estimation of uncertainty in measuring the workpiece circularity error
WANG Dong-xia , WEN Xiu-lan , QIAO Gui-fang     
School of Automation, Nanjing Institute of Technology, Nanjing 211167, China
*Corresponding author: WANG Dong-xia, E-mail: wangdongxia93@163.com
Abstract: In order to realize the uncertainty evaluation of the workpiece circularity error, the sampling strategy, error evaluation method, and uncertainty of the circular outline of the workpiece were investigated based on the Coordinate Measuring Machine (CMM). First, to achieve many samples from different workpieces, circular outlines were measured. Next, the sample circularity errors were evaluated according to the Differential Evolution (DE) algorithm. Then, by comparing the errors, the adopted sampling strategies and the DE algorithm were explained. Finally, based on the results of the circularity error, the uncertainty was evaluated by applying the GUM and MCM methods. The maximum average difference is 1.1 μm, and the average standard uncertainty of the MCM method is 0.02 μm less than the GUM method. More stable, reliable, and accurate results can be obtained using reasonable sampling points, DE algorithm, and MCM evaluation method.
Key words: circularity error     uncertainty evaluation     sample strategy     differential evolution     MCM    
1 引言

圆度误差作为评价圆柱零件的一个重要指标,在机械制造、电力、运输、航空航天、自动检测等领域中的主轴回转误差评价、精密测量工具和圆柱度零件高精度误差评定方面起着非常重要的作用[1]。不确定度理论是现代测试技术、仪器仪表及工程实验等领域不可缺少的重要理论。不确定度在所有测量过程中是不可避免的,形状误差测量不确定度的准确评定十分重要。本文主要针对工件圆度误差进行了不确定度评定研究。

根据ANSI和ISO尺寸与公差标准,圆度误差指的是包含所有轮廓点的两同心圆之间的最小半径差。在众多圆度评定算法中,最小二乘法和最小区域法是两种常用的圆度误差评估方法[1]。最小二乘拟合算法因其计算简便,广泛应用于三坐标测量机上[2],然而最小区域法是最适合的评估算法,因为它满足ISO标准的定义,能够给出最准确的拟合结果。为了从给定的点集中获得最小区域的圆度误差,Samuel和Shunmugam[3]提出了一种新启发式算法解决内凸(内壳inner hull)问题,并采用等距与等角度法评估圆度误差;Huang[4]提出了一种新的方法用于圆度误差解决方法,通过隔离关键数据点尽可能地减少冗余数据点周围的计算,提高了计算效率;Zhu等[5]提出了通过计算两个凸多边形之间的最小平移距离来决定最速下降方向的圆度评估算法。这些圆度误差评定方法基于数学理论或几何方法,实现起来比较复杂。

无论采用什么算法,形状误差的测量不确定度总是存在的,因为圆度采样点通常来自于圆度轮廓特征的一部分。对于同样的圆度特征,如果样本大小或抽样数据点的位置变化, 评定的圆度误差会有所不同。由于测量的不确定性,对同一被测轮廓不同次测量所得到的结果都不一样。为此,研究人员[6-7]对被测轮廓采样的不确定性进行了广泛的研究,综合考虑被测轮廓的尺寸和形状、采样策略、测点数量等因素,结果表明,测量点数量对测量结果的不确定性的影响远远大于其他因素的影响。因此测量点数越多,越能反映被测轮廓的真实形状特征,测量结果的不确定性就越小。但是,测点数据越多,计算工作量就越大[8]

采样策略通常考虑采样方法、时间和成本及获取最多代表信息的样本大小[9]。因此,采样策略涉及在测量圆上取多少点以及这些点如何分布的问题,这是一个测量不确定度的主要组成部分。常用的采样技术有等间隔采样策略、随机采样策略和分层采样策略。Chan等[10]提出均匀覆盖整个工件形状的等间隔采样法,采集到的点代表了工件的几何特征。Odi[11]指出等间隔采样是最合适的方法,因为有最小的不确定度能够适当地检验形状误差。这种方法比其它采样技术更容易在测量机上编程实现等角度或等距离移动。等间隔采样技术已被普通用户证实是最实用的技术[5, 10]

Dhanish和Mathew[12]研究了三坐标测量机测量点对圆度误差不确定度的影响,提出在圆截面上使用接触式探针应该采样22个点。Jiang和Feng[1]提出按照一个满意的轮廓置信水平圆度可以采用确定性的轮廓评定,算法的优势在于对于一个理想圆,如果样本量是大于或等于确定性轮廓的最高频率的两倍,样本量或者采样点的分布对于所评定的圆度值来说几乎没有影响。一般来说,采样获取的信息质量取决于采样点的分布位置和点数,如果能得到更多的采样点数就可以改善采样精度,但是采样点数越多需要的测量和计算时间越多。因此,在工件尺寸测量时应该同时考虑采样点数、测量与计算时间以及结果的准确度。在等间隔采样技术基础上选择多少采样点数更合适, 是本文对工件圆度误差测量不确定度研究的关键之一。

过去的文献中,圆度误差的不确定度计算方法主要基于GUM框架[13-14],尽管GUM对不确定度的评估提供了定义和标准程序,但是这种程序是繁杂的,难以解决复杂的尺寸测量问题。而蒙特卡洛仿真技术(MCM)对于复杂的尺寸测量可以进行直接、准确的不确定度评估[15-16]。不需要考虑状态函数是否非线性和随机变量之间有何种相关性,只需确定参数的分布状态和期望值,并且方法思路简单易于编制程序。

目前,基于坐标测量机的圆度误差测量不确定度研究主要集中在采样策略、拟合算法、测量设备与环境影响、不确定度的计算方法等方面。本文按照圆度误差特征,给出了基于三坐标测量机测量的不确定度评定与验证过程,建立了最小二乘法与最小区域法的圆度数学模型,应用微分进化算法进行圆度误差的评定,提出了合适的采样点数,分析了测量不确定度的主要来源,给出了GUM和MCM方法的测量不确定度评定结果和95%置信概率下的包含区间,并用实例验证了所提算法的有效性。

2 圆度误差评定数学模型与拟合算法 2.1 数学模型

最小二乘法(Least Square Method, LSM)和最小区域法(Minimum Zone Method, MZC)同时用来计算圆度误差,两种方法的数学模型描述如式(1)和式(2)所示。

假定一个圆截面上的测量点集Pi(xi, yi)(i=1, 2…, n, n是测量点集P的数据点数), 则有:

(1)

其中(a′, b′)和r分别是最小二乘圆的圆心和半径。

MZC方法的数学模型为:

(2)

其中(a*, b*)是MZC的圆心。

2.2 拟合算法

在不确定度评定中圆度误差的最小区域解采用微分进化算法实现。微分进化是一种并行直接搜索方法,它采用ND维参数向量Xi, G作为第G代的一个种群成员。微分进化是从当前种群中选取的2个或多个任意个体做差值运算,并乘以系数产生变异向量。如果变异向量比预先确定作为比较的成员向量的目标函数值更优,则此变异向量取代原先确定作为比较的向量;否则,原向量保留不变。最小区域圆度误差评定的微分进化实现流程如下:

① 输入圆度误差微分进化评定的各个算法参数。

② 产生初始化种群。设置进化代数G=0, 初始化第G代种群PG={X1, G, X2, G, …, XN, G}, 第G代种群的第i个向量成员Xi, G={xi, G1, …, xi, GD}, i=1, 2, …,N, N为种群数。

③ 评估PG=0,并设置代数计数器t=0。

④ 当停止条件不满足时,重复以下操作:

每一个个体向量Xi, G=i, i=1, 2, …, N,它的子代Xi, G=t+1都由变异、交叉、选择操作产生,然后评估PG=t+1中的目标函数,并设置t=t+1。

⑤ 输出最优目标向量Xbest, G和目标函数值(最小区域圆的圆度误差值)。

在圆度误差评定中参数维数D=2, 种群大小N=10*D, 进化代数均设置为100代,变异因子F=0.95,交叉因子CR=0.85,变异策略为“DE/rand-to-best/1”[17]

3 采样策略与数据处理

本文采用等间隔采样技术,为获得大多数工件都适当的采样点数,实验选取了4个以三爪卡盘固定加工的工件,如图 1所示。1号工件直径为34.69 mm,2号工件和3号工件同批加工,直径均为28.02 mm,4号工件直径为70 mm。等间隔采样,被采样的圆截面在1号、2号、3号、4号工件的相应高度分别为70,20,20和16 mm。

图 1 工件图片 Fig.1 Four workpieces

本文中三坐标测量机采用青岛诺顿公司生产的Miracle系列Leader/ NC454型号,测量头是Renishaw的接触式触发探针,探头直径是4 mm,加长杆长度为40 mm。实验过程中,环境温度保持在(20±1) ℃。为获得合适的采样点数,做了大量的实验。对于4个工件,采样的样本量分别取8, 12, 16, 20, 24, 32, 40, 64, 80和100点。每种采样点均测量12次,测量点是以待评估圆的中心等角度随机分布,每次测量的起始点不同而且是随机的,所以称为均匀随机采样策略。

对于每种样本量的测量数据,都进行了LSM和基于微分进化算法(Differential Evolution, DE)的最小区域法计算圆度误差,两种方法分别计算了各种样本量下12组测量数据点集的圆度误差,均值列于图 2~图 5中。

图 2 1号工件不同采样点数的圆度误差 Fig.2 Circularity errors of different sample sizes for No.1 workpiece

图 3 2号工件不同采样点数的圆度误差 Fig.3 Circularity errors of different sample sizes for No.2 workpiece

图 4 3号工件不同采样点数的圆度误差 Fig.4 Circularity errors of different sample sizes for No.3 workpiece

图 5 4号工件不同采样点数的圆度误差 Fig.5 Circularity errors of different sample sizes for No.4 workpiece

图 2~图 5表明,由DE计算得到的所有圆度误差均值均小于LSM。实验中,对于4个工件,两种方法均值差的最大值是1.1 μm。随着测量点数的增加,4个工件的圆度误差值都在增大,当样本量达到64点及以上时,圆度误差趋于稳定。因此,采样点数应该大于等于64点,才能保证结果的准确性。以工件3为例,64点采样的三次测量优化过程如图 6所示,微分优化过程的终止条件设置为100代,每次优化过程的参数设置已在文中2.2节拟合算法部分给出。可以看出,三次测量结果中,大约40代的时候已经得到最优解。另外,也可以看出微分进化优化算法具有良好的鲁棒性和准确性。

图 6 三次采样数据圆度误差的优化过程 Fig.6 Optimization processes of circularity errors of three-time sampling data
4 不确定度计算

基于以上的实验结果,综合考虑测量时间、计算时间以及结果准确度,以工件3为例,取64点三坐标测量的12组样本量,进行圆度误差评定后的不确定度评估。GUM法中,不确定度是基于误差传播规律计算的,由JCGM建议的GUM的补充1[16]中提供了不同概率密度分布的输入量通过MCM方法决定被测量的概率密度分布的方法指导。这里分别采用两种方法GUM和MCM计算圆度误差的测量不确定度[18-21]

4.1 GUM法不确定度评定

基于最小区域误差公式,按照GUM原则,圆度误差的测量不确定度由误差传播标准计算得到:

(3)

其中:a*b*为参考圆的坐标中心,(xmax, ymax)和(xmin, ymin)是距离坐标中心最远和最近的两个点,uxmax, uymaxuxminuymin是CMM采样点(xmax, ymax)和(xmin, ymin)的标准不确定度; ua*, ub*是参数a*b*的标准不确定度; ua*b*是参数a*b*的相关不确定度,按照式(4)由协方差矩阵计算得到;ρa*b*是参数a*b*的相关系数。

(4)
4.2 MCM不确定度评定

MCM不确定度评定是基于合成整体因素分布的概率方法,不仅仅是基于均值和标准差。MCM方法实现的关键是对输入量的概率密度分布重复采样,进行各种情况下的模型评价。圆度误差的测量不确定度为:

(5)

其中:xmax, ymax, xmin, ymin, a*b*是在MCM实现中分别服从高斯概率分布N(xmax, u02), N(ymax, u02), N(xmin, u02), N(ymin, u02), N(a*, ua*2)和N(b*, ub*2)的M个矢量, u0为测量点的标准不确定度,M是蒙特卡洛试验次数,研究中设置为106

由于整个实验测量过程中温度控制在(20±1) ℃,测量不确定度主要来源于测量环境和测量设备。

4.2.1 测量环境温度影响引起的不确定度因素

GPS测量的标准参考温度是20 ℃,温度的影响主要导致测量件和测量设备的线性膨胀和弯曲。长度方向由温度变化引起的变形为[22]:

(6)

式中:L为有效长度, ΔT为相对温度偏差,α为材料的温度膨胀系数。由温度引起的不确定度(u1)为:

(7)

其中r1是与分布有关的参数。当误差分布是高斯分布、矩形分布和U形分布时,r1分别等于2, 或者。从安全角度考虑,假定误差分布为矩形分布(r1= )[22]。实验中,零件是碳素钢材料,α=1.1 μm/(100 mm×℃)。长度L为所测圆直径,L=28.02 mm, ΔT=2 ℃。由式(6)和式(7)计算得到u1=0.36 μm。

因测量过程中测量机与工件之间无温度差的影响,故不考虑这部分引起的不确定度。

4.2.2 测量环境灰尘的影响

在实验中由灰尘的影响引起的不确定度因素[23]通常估计为u2=0.2 μm。

4.2.3 坐标测量机测量重复性引起的不确定度因素

重复性引起的不确定因素u3取决于三坐标测机。在圆截面上随机选择12个点,每个点测量20次,计算每个点的半径的不确定度。重复性引起的不确定度u3是12点标准不确定度的均值, u3=1.42 μm。

4.2.4 三坐标测量机的漂移与迟滞引起的不确定度因素

由漂移与迟滞影响引起的不确定度估计为u4=0.2 μm[16],则测量点的标准不确定度为:

样本量为64点的12次测量数据点集的3号工件圆度误差基于GUM和MCM方法的标准不确定度计算结果uf, 扩展不确定度U(包含因子k=2)以及包含区间(95%置信水平)均列于表 1中。

表 1 3号工件圆度误差基于GUM和MCM方法的不确定度评定结果 Tab. 1 Uncertainty evaluation results of 12 data sets for No.3 workpiece based on GUM and MCM respectively

表 1表明,3号工件基于GUM方法的扩展不确定度U的均值是0.004 65 mm, 基于MCM的结果是0.004 62 mm。MCM的不确定度略小于GUM的结果,其他3个工件的比较结果与3号工件的结果是一致的,就不在文中列出了。

5 结论

本文从采样策略、拟合算法和不确定度计算方法三个方面综合考虑,实现了基于三坐标测量机的工件圆度误差的不确定度评定。采样策略采用均匀随机采样技术,应用微分进化智能优化算法,快速有效地评定基于最小区域的圆度误差,与最小二乘法相比均值差最大达到1.1 μm;根据两种不确定度方法GUM和MCM的计算结果,两种方法得到的标准不确定度均值分别是2.32 μm和2.30 μm,MCM方法比GUM方法小0.02 μm。两种方法的评定结果基本一致。比较结果证实,工件圆度测量误差的GUM与MCM不确定度评定结果一致,两种方法都是适用的。通过三个方面实现了对工件圆度误差的测量不确定度评价。这种方法能够更加稳定可靠地评价圆度测量的不确定度,也可为其他形状误差的不确定度评价提供参考。

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