光学 精密工程  2018, Vol.26 Issue (10): 2415-2422   PDF    
激光跟踪仪多边测量的不确定度评定
任瑜1,2, 刘芳芳2, 张丰2, 傅云霞2, 邾继贵1     
1. 天津大学 精密测试技术及仪器国家重点实验室, 天津 300072;
2. 上海市计量测试技术研究院 机械与制造计量技术研究所, 上海 201203
摘要: 激光跟踪仪多边测量是大型高端装备制造现场溯源的重要手段,正确评定其不确定度是确保制造过程量值统一、结果可靠的关键。本文提出了一种准确、快速的激光跟踪仪多边测量的不确定度评定方法。从仪器误差、环境干扰及靶球制造误差等方面分析激光跟踪仪多边测量的不确定度来源。针对多边测量的输出量为多维向量的特点,重点研究基于多维不确定度传播律(GUM法)的不确定度合成方法,同步评定目标点坐标和跟踪仪站位的不确定度。最后,介绍了点到点长度的不确定度计算方法。实验表明:GUM法评定的不确定度结果与蒙特卡洛法(MCM法)的结果相比,坐标不确定度偏差小于0.000 2 mm,相关系数偏差小于0.01,满足数值容差,且GUM法用时仅为MCM法的0.08%;点到点长度测试的En值均小于1。因此,基于GUM法评定激光跟踪仪多边测量的不确定度具有可行性及高效性,且评定结果正确、可靠。
关键词: 激光跟踪仪      多边测量      测量不确定度      多维测量模型     
Evaluation of uncertainty in multilateration with laser tracker
REN Yu1,2 , LIU Fang-fang2 , ZHANG Feng2 , FU Yun-xia2 , ZHU Ji-gui1     
1. State Key Laboratory of Precision Measuring Technology and Instruments, Tianjin University, Tianjin 300072, China;
2. Mechanics and Manufacture Division, Shanghai Institute of Measurement and Testing Technology, Shanghai 201203, China
*Corresponding author: FU Yun-xia, E-mail: fuyx@simt.com.cn
Abstract: Multilateration with laser tracker is an important method for on-site traceability in large-scale equipment manufacturing processes. An accurate evaluation of uncertainty is the key to ensuring quantitative accuracy in manufacturing processes. In this paper, we reported an accurate and fast technique for the evaluation of uncertainty in multilateration with laser tracker. First, the sources of uncertainty in multilateration were analyzed; these primarily include instrument errors, environmental conditions, and manufacturing errors of the target. Next, based on the propagation of uncertainty for multivariate measurement error models (GUM), the uncertainty in multilateration with laser tracker was estimated. Finally, the uncertainty in the point-to-point length was calculated. Our experiments reveal that the differences between the uncertainty values evaluated using GUM and Monte Carlo method (MCM) are within the numerical tolerance limit. The deviation in the uncertainty in coordinates is less than 0.000 2 mm, whereas that in the correlation value is less than 0.01. The time required for the GUM method is only 0.08% of the time required for the MCM method, and the value of En obtained from the point-to-point length test is less than 1. Thus, this study reveals that the evaluation of uncertainty in multilateration with laser tracker based on the GUM method is feasible and efficient, and the obtained results are accurate and reliable.
Key words: laser tracker     multilateration     uncertainty     multivariate measurement models    
1 引言

激光跟踪仪多边测量是利用多台或多个站位的跟踪仪测量同一组目标点,通过多组跟踪仪-目标点距离交会,同步定位目标点和跟踪仪。该方法只采用跟踪仪的干涉测距信息,具有溯源链短且理论精度高的优点;此外,它采用网络化测量模式,可在扩展量程的同时不损失精度。因此,激光跟踪仪多边测量成为大型高端装备制造中几何量现场溯源的重要手段[1-2]

近年来,国内外研究人员就激光跟踪仪多边测量的算法设计、硬件开发、应用扩展等方面积极开展研究[3-11]。英国国家物理实验室(NPL)是较早开展相关研究的机构,开发了Multilateration软件,并深入研究了自标定、动态加权、布局优化等关键技术,所设计的新型跟踪仪结构成为Etalon公司商用激光跟踪干涉仪的雏形[3-5]。国内天津大学重点研究了基于激光跟踪仪多边测量的精密三维控制场构建方法,并应用在飞机表面形貌测量中[6-8]。北京工业大学则重点研究了激光跟踪仪多边测量在三坐标测量机、数控机床等的误差修正中的应用[9-12]。然而,现有研究较少涉及激光跟踪仪多边测量的不确定度评定,使得测量结果的可靠性难以得到准确评价,直接影响到该测量方法的具体应用。

激光跟踪仪多边测量的被测量(输出量)是包含目标点坐标和仪器(站位)坐标的多维向量,《JJF 1059.1—2012测量不确定度评定与表示》及《JJF 1059.2—2012用蒙特卡洛法评定测量不确定度》中均未提出评定此类多维输出量模型不确定度的相关理论[13]。目前,国内外研究人员多采用蒙特卡洛法评定多维输出量模型的不确定度,但是该方法的评定精度与样本量相关,精度越高,样本量越大,导致计算效率降低,特别是多边测量计算涉及优化迭代,评定精度与计算效率难以兼顾[14-19]。因此,研究准确、快速的跟踪仪多边测量不确定度评定方法具有重要意义。

本文对激光跟踪仪多边测量的不确定度评定方法进行研究。首先,系统分析并量化激光跟踪仪多边测量的不确定度来源。然后,重点研究基于多维不确定度传播律(GUM法)[13, 20]的不确定度合成方法,同步评定目标点坐标和跟踪仪站位的不确定度。最后,介绍了点到点长度的不确定度计算方法。实验证明,基于GUM法评定激光跟踪仪多边测量的不确定度具有可行性及高效性,且评定结果正确、可靠。

2 激光跟踪仪多边测量原理

多边测量是利用跟踪仪的干涉测距精度高且可直接溯源至激光波长的特点,通过多个站位的跟踪仪测量同一组目标点相对跟踪仪的距离,同步计算目标点坐标及跟踪仪位置,可有效缩短坐标测量的溯源链,且在合理站位布局下提高坐标测量精度。

假设激光跟踪仪在n个站位测量m个目标点,记站位j处跟踪仪测得j到目标点i的距离值为lij,令目标点i的坐标为Pi=(xi, yi, zi)T,站位j的坐标为Tj=(Xj, Yj, Zj)T(i=1, 2, …, mj=1, 2, …, n), 则距离误差方程为:

(1)

对于m个目标点和n个站位,可建立mn个距离误差方程,且存在3(m+n)个未知量。需要说明的是,定位目标点和跟踪仪前,须先建立全局参考系,一般选择3个站位(或目标点),以第1个站位为原点,以第1个站位到第2个站位的方向为轴,以3个站位确定的平面为XOY面,此时未知量数目减少至3(m+n)-6。

综上,多边测量模型可表示为:

(2)

其中未知量V是目标点坐标和站位坐标的集合,即:

(3)

此外,跟踪仪干涉测距是不等精度测量,且距离误差的分布与距离成正比,故对距离误差方程fij进行加权,一般权值wij与距离值lij的不确定度的平方成反比。

对于式(2)多边测量模型,当n≥4且m≥6时,采用牛顿法、Levenberg-Marquardt法等算法即可同步解算目标点坐标和跟踪仪站位坐标。

3 跟踪仪多边测量的不确定度评定

为确保目标点坐标的可靠性,必须对激光跟踪仪多边测量进行完整的不确定度评定。通常,不确定度评定流程可分为:分析不确定度来源并评定对应的标准不确定度分量、建立测量模型并合成被测量(输出量)的测量不确定度[20]

3.1 跟踪仪多边测量中不确定度来源分析

如式(1)和式(2)所示的跟踪仪多边测量模型中,跟踪仪在n个站位测得这些站位到m个目标点的距离值是输入量,而m个目标点的坐标以及n个站位的坐标均为输出量。这意味着,距离值不准确是导致目标点坐标不确定度的最主要来源;而站位坐标与目标点坐标同步解算,其不确定度不对目标点坐标的不确定度产生贡献。因此,需要评定距离值的不确定度,具体步骤如下:

(1) 跟踪仪干涉测距的仪器误差是距离值不确定度的重要来源,可在跟踪仪说明书或校准证书中查询。以Leica AT930跟踪仪为例,其说明书中标称,干涉测距的最大允许误差为±0.5 μm/m,按均匀分布,则由干涉测距引入的标准不确定度为:

(4)

(2) 环境干扰造成大气折射率变化,也会引起距离误差。通常,跟踪仪配备有温度、湿度及压力传感器,可实时对大气折射率进行补偿,但当温度、压力和湿度的不均匀性或波动较大时,仍需考虑补偿不完全对距离值不确定度的贡献。例如测量空间中温度梯度为0.5 ℃/m,压力和湿度变化不明显,参照《ISO/TR 16015 Geometrical product specifications (GPS)— Systematic errors and contributions to measurement uncertainty of length measurement due to thermal influences》[21],由环境补偿不完全引入的标准不确定度为:

(5)

(3) 综合上述两部分分量,则距离值lij的标准不确定度为:

(6)

此外,跟踪仪多边测量的前提是目标点位置在整个测量过程中不发生变化。测量过程中,由于跟踪仪的靶球并非全周,而是具有一定张角,从不同站位测量时,常需转动靶球使它对准跟踪仪。理论上这一过程靶球的球心位置不变,但是实际上,跟踪仪测量的是靶球的光学中心,由于存在制造误差,导致不同站位测量的目标点位置变化,具体表现为:靶球的光学中心与球心无法重合,存在光学中心位置度误差;靶球存在轮廓误差,导致靶球转动时光学中心跳动;靶球半径存在误差,如同一目标点处更换靶球,也会导致靶球的光学中心变动。因此,靶球的制造误差也是目标点坐标的不确定度来源之一。

以Leica RRR靶球为例,光学中心位置度为±6 μm,面轮廓度为±1.5 μm,半径公差为±2.5 μm,按均匀分布,则由靶球制造误差引起的目标点跳动的标准不确定度如下:

单一靶球测量时,

(7)

多个靶球测量时,

(8)
3.2 跟踪仪多边测量的不确定度合成

如第2节所述,跟踪仪多边测量中输出量V是一个3(m+n)-6维向量,包含目标点坐标和跟踪仪站位坐标。因此,输出量V的不确定度不仅包括每个分量的不确定度(标准差),还涉及不同分量间的相互不确定度(协方差)。对于此类多维输出量的不确定度,《JCGM 102:2011 Evaluation of measurement data — Supplement 2 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” — Extension to any number of output quantities》[20]推荐了两种合成方法:一种基于不确定度传播律,称为GUM法;另一种基于蒙特卡洛法,称为MCM法。两种方法的比较见表 1

表 1 GUM法与MCM法比较 Tab. 1 Comparison between GUM and MCM methods

鉴于跟踪仪多边测量模型为非线性模型,但求解涉及迭代,本文仍采用GUM法进行不确定度合成,并利用MCM法进行验证。

依据GUM法中的多维不确定度传播律,对于模型G(V, I)=0,输出量V的标准不确定度表示为:

(9)

其中:uVuI分别为输出量V和输入量I的标准不确定度矩阵(协方差矩阵),即矩阵对角线上元素为各分量标准不确定度的平方,非对角线上元素为对应分量间的相互不确定度;称为灵敏度矩阵,即输出量V相对于输入量I的雅可比矩阵,根据模型G(V, I)=0计算。

针对激光跟踪仪多边测量进行具体分析:输出量V如式(3)所示;输入量I由3.2节所述不确定度来源(见表 2)组成,如式(10)所示;对于标准不确定度矩阵uI,鉴于跟踪仪的各次测量相互独立,故其非对角线元素均为0,如式(11)所示。

(10)
(11)
表 2 跟踪仪多边测量的不确定度来源 Tab. 2 Uncertainty sources in multilateration with laser tracker

然后计算灵敏度矩阵

首先,第2节所述的跟踪仪多边测量模型中未包含目标点跳动,故须先量化目标点跳动对测量的影响。如图 1所示,在站位j处测量目标点i(图中点A)时,实际瞄准的靶球光学中心坐标(xij, yij, zij)(图中点A1)为:

(12)
图 1 激光跟踪仪测量靶球示意图 Fig.1 Schematic of laser tracker measuring SMR

因此,式(1)须修改为:

(13)

其中:Iij=(lij, Δxij, Δyij, Δzij),且取目标点跳动(Δxij, Δyij, Δzij)=(0, 0, 0)。

将式(13)代入式(2),得:

(14)

然后,须由式(14)确定等式关系G(V, I)=0。根据最优化原理,当函数F′取最小值时,它对输出量V的导数为零,即:

(15)

最后,利用隐函数求导得灵敏度矩阵为:

(16)

综上,将式(11)、式(16)代入式(9),计算得到输出量V的标准不确定度矩阵uV,如式(17)所示。观察矩阵uV,其对角线上3×3的方阵(□标注部分),分别表示站位的标准不确定度矩阵uTj和目标点i的标准不确定度矩阵uPi。根据《JCGM 102:2011》[20],目标点(或站位)的标准不确定度矩阵表示的几何意义为:目标点(或站位)坐标的可能值所处于的区域,即包含区域,是以其坐标为中心的椭球形,椭球的轴与标准不确定度矩阵的特征向量平行,轴向半径分别为标准不确定度矩阵的特征值的平方根乘以包含概率。

(17)
3.3 点到点长度的不确定度计算

跟踪仪多边测量中,常涉及两目标点间长度的计算,用以验证目标点坐标的精度,或为其他测量系统提供长度标准值。因此,这里在目标点不确定度基础上计算点到点长度的不确定度。

目标点s1到目标点s2的长度Ls可表示为:

(18)

其中s1, s2=1, 2, …, m, 且s1≠s2。

根据测量不确定度传播律,长度Ls的标准不确定度为:

(19)

其中:输入量Is=(xs1, ys1, zs1, xs2, ys2zs2),其标准不确定度矩阵uIs由目标点s1的标准不确定度矩阵uPs1、目标点s2的标准不确定度矩阵uPs2、以及目标点s1和目标点s2之间的协方差uPs1, Ps2组成,如式(20)所示:

(20)

需要说明的是,由于目标点s1和目标点s2同步解算,互相不独立,故协方差uPs1, Ps2不为0,须由式(17)中摘取。灵敏度向量则为Ls对输入量Is的导数。

4 测量实验与结果

测量实验布局如图 2所示,并通过两个实验对本文所述跟踪仪多边测量的不确定度评定方法进行验证。其中,实验一用于验证GUM法的可行性;实验二用于验证不确定度评定的正确性。

图 2 激光跟踪仪多边测量实验布局 Fig.2 Experiment layout of multilateration with laser tracker

在5 m×3 m×1.5 m空间内布置14个目标点,其中点3和点4、点5和点6分别为两根基准尺的两端,采用Leica AT930跟踪仪在8个站位对目标点进行多边测量。Leica AT930跟踪仪干涉测距的最大允许误差为±0.5 μm/m,实验空间的温度梯度为0.5 ℃/m,且实验采用同一个Leica RRR靶球进行测量,故激光跟踪仪多边测量中各不确定度来源对应的标准不确定度分量见式(6)和式(7)。

4.1 GUM法与MCM法比较

实验一中,分别利用GUM法和MCM法评定图 2所示激光跟踪仪多边测量结果的测量不确定度,并比较两种方法所得14个目标点的坐标不确定度uxuVuz以及相关系数ρxyρxzρyz。其中,μ, ν=x, y, z,且μν;MCM法的样本量为104。根据输入量有效数字的位数,选择数值容差;鉴于在跟踪仪测量中,单位为mm的量一般保留三位小数,故选择坐标不确定度的数值容差为0.000 5;相关系数为无单位的量,选择数值容差为0.05。比较结果如图 3图 4所示。

图 3 GUM法与MCM法的坐标不确定度偏差 Fig.3 Difference of coordinate uncertainty between GUM and MCM

图 4 GUM法与MCM法的相关系数偏差 Fig.4 Difference of correlation between GUM and MCM

图 3中,坐标不确定度的绝对偏差最大值约为0.000 2 mm,小于数值容差0.000 5 mm。图 4中相关系数的绝对偏差最大值约为0.01,小于数值容差0.05。因此,可以采用GUM法评定激光跟踪仪多边测量的不确定度。

此外,比较两种评定方法所需的运行时间。在Intel Core-i7 2.4 GHz计算机配合Matlab R2016a平台,GUM法用时0.251 s,MCM法用时324.487 s,即GUM法用时仅为MCM法的0.08%。因此,GUM法可有效节省运算成本,更适合高效率、在线评定激光跟踪仪多边测量的不确定度。

4.2 点到点长度测试

鉴于长度标准值较坐标标准值易于获得,实验二采用长度测试并计算En值,对本文评定的不确定度进行验证,即激光跟踪仪多边测量目标点坐标并计算两目标点间长度实测值LL与长度标准值L0的差值应满足:

(21)

本实验中,选择5组点到点长度进行测试,分别为3-4、5-6、7-8、9-10以及13-14,测试结果见表 3。其中,各组长度标准值L0采用激光跟踪仪干涉测距直接测量[7],并根据式(6)计算其不确定度UL0;各组长度实测值L及其不确定度UL根据3.3节计算。

表 3 点到点长度测试结果 Tab. 3 Result of point-to-point length test

表 3中,5组长度的En值均小于1,由此证明本文评定的激光跟踪仪多边测量的不确定度正确、可靠。

5 结论

本文对激光跟踪仪多边测量的不确定度评定方法进行了研究。首先,在多边测量模型基础上,从仪器误差、环境干扰及靶球制造误差等方面分析了其不确定度来源。然后,针对多边测量中被测量(输出量)为多维变量的特点,重点研究了基于GUM法的激光跟踪仪多边测量的不确定度合成方法。最后,介绍了点到点长度的不确定度计算方法,并采用MCM法验证GUM法。实验结果表明,二者所得的目标点坐标不确定度偏差小于0.000 2 mm,相关系数偏差小于0.01,且GUM法用时仅为MCM法的0.08%,说明本文采用GUM法评定跟踪仪多边测量的不确定度具有可行性及高效性;采用点到点长度测试验证不确定度评定结果,En值均小于1,说明本文所述的激光跟踪仪多边测量不确定度评定方法正确、可靠。

参考文献
[1]
FRANCESCHINI F, GALETTO M, MAISANO D, et al. Distributed Large-Scale Dimensional Metrology[M]. London: Springer International Publishing AG, 2011.
[2]
MURALIKRISHNAN B, PHILLIPS S, SAWYER D. Laser trackers for large-scale dimensional metrology:A review[J]. Precision Engineering, 2016, 44: 13-28. DOI:10.1016/j.precisioneng.2015.12.001
[3]
HUGHES E B, WILSON A, PEGGS G N. Design of a high-accuracy CMM based on multi-lateration techniques[J]. CIRP Annals-Manufacturing Technology, 2000, 49(1): 391-394. DOI:10.1016/S0007-8506(07)62972-2
[4]
ZHANG D, ROLT S, MAROPOULOS P G. Modelling and optimization of novel laser multilateration schemes for high-precision applications[J]. Measurement Science and Technology, 2005, 16(12): 2541-2547. DOI:10.1088/0957-0233/16/12/020
[5]
FORBES A B. Weighting observations from multi-sensor coordinate measuring systems[J]. Measurement Science and Technology, 2012, 23(2): 025004. DOI:10.1088/0957-0233/23/2/025004
[6]
林嘉睿, 邾继贵, 郭寅, 等. 现场大空间测量中精密三维坐标控制网的建立[J]. 机械工程学报, 2012, 48(4): 6-11.
LIN J R, ZHU J G, GUO Y, et al. Establishment of precise three-dimensional coordinate control network in field large-space measurement[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(4): 6-11. (in Chinese)
[7]
谢政委, 林嘉睿, 邾继贵, 等. 基于空间长度约束的坐标控制场精度增强方法[J]. 中国激光, 2015, 42(1): 0108005.
XIE ZH W, LIN J R, ZHU J G, et al. Accuracy enhancement method for coordinate control field based on space length constraint[J]. Chinese Journal of Lasers, 2015, 42(1): 0108005. (in Chinese)
[8]
赵子越, 邾继贵, 杨凌辉. 采用精确三维控制场的wMPS全局组网定向方法[J]. 红外与激光工程, 2016, 45(11): 1117001.
ZHAO Z Y, ZHU J G, YANG L H. Orientation parameters calibration of wMPS by using precise 3D coordinate control network[J]. Infrared and Laser Engineering, 2016, 45(11): 1117001. (in Chinese)
[9]
陈洪芳, 闫昊, 石照耀. 面向特大型齿轮的激光跟踪多站位定位[J]. 光学 精密工程, 2014, 22(9): 2375-2380.
CHEN H F, YAN H, SHI ZH Y. Laser tracking multi-station positioning method for Mega-gear[J]. Opt. Precision Eng., 2014, 22(9): 2375-2380. (in Chinese)
[10]
CHEN H, TAN Z, SHI Z, et al. Optimization method for solution model of laser tracker multilateration measurement[J]. Measurement Science Review, 2016, 16(4): 205-210. DOI:10.1515/msr-2016-0025
[11]
陈洪芳, 郑博文, 石照耀, 等. 基于激光追踪仪多站位测量的CMM空域坐标修正方法[J]. 中国激光, 2017, 44(3): 197-204.
CHEN H F, ZHENG B W, SHI ZH Y. CMM spatial coordinate correction method based on laser tracer multistation measurement[J]. Chinese Journal of Lasers, 2017, 44(3): 197-204. (in Chinese)
[12]
陈洪芳, 孙衍强, 王亚韦, 等. 高精度激光追踪测量方法及实验研究[J]. 中国激光, 2018, 45(1): 0104003.
CHEN H F, SUN Y Q, WANG Y W, et al. High-precision laser tracking measurement method and experimental study[J]. Chinese Journal of Lasers, 2018, 45(1): 0104003. (in Chinese)
[13]
赵志刚, 赵伟, 黄松岭. 多维测量结果不确定度评价方法初探[J]. 清华大学学报(自然科学版), 2007, 47(10): 1557-1561.
ZHAO ZH G, ZHAO W, HUANG S L. A pilot study of mult ivariate uncertainty theory[J]. J. Tsinghua Univ. (Sci & Tech), 2007, 47(10): 1557-1561. DOI:10.3321/j.issn:1000-0054.2007.10.003 (in Chinese)
[14]
CALKINS J M. Quantifying Coordinate Uncertainty Fields in Coupled Spatial Measurement Systems Mechanical Engineering[D]. Blacksburg: Virginia Polytechnic Institute and State University, 2002.
[15]
黄周弟, 吴铁林, 周玉芳. 利用iGPS进行大尺寸空间坐标测量的不确定度评估[J]. 中国测试, 2013, 39(1): 47-51.
HUANG ZH D, WU T L, ZHOU Y F. Uncertainty evaluation for large-scale coordinate measurement of iGPS[J]. China Measurement & Test, 2013, 39(1): 47-51. (in Chinese)
[16]
GALETTO M, MASTROGIACOMO L, MAISANO D, et al. Uncertainty evaluation of distributed large-scale-metrology systems by a Monte Carlo approach[J]. CIRP Annals-Manufacturing Technology, 2016, 65(1): 491-494. DOI:10.1016/j.cirp.2016.04.017
[17]
肖文健, 马东玺, 张勇, 等. 基于惯性基准的大尺寸空间角测量[J]. 光学 精密工程, 2016, 24(3): 560-565.
XIAO W J, MA D X, ZHANG Y, et al. Large-scale spatial angle measurement based on inertial reference[J]. Opt. Precision Eng., 2016, 24(3): 560-565. (in Chinese)
[18]
任瑜.异构网络坐标测量精度分析与算法研究[D].天津大学, 2016.
REN Y. Research on Accuracy Analysis and Algorithm of Heterogeneous-network Coordinate Measurement[D]. Tianjin: Tianjin University, 2016. (in Chinese) http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10056-1017134143.htm
[19]
霍炬, 张贵阳, 崔家山, 等. 测量误差不确定性加权的立体视觉位姿估计目标函数[J]. 光学 精密工程, 2018, 26(4): 834-842.
HUO J, ZHANG G Y, CUI J SH, et al. A objective function with measuring error uncertainty weighted for pose estimation in stereo vision[J]. Opt. Precision Eng., 2018, 26(4): 834-842. (in Chinese)
[20]
JCGM 102: 2011, ISO/IEC Guide 98-3-2: 2011, Evaluation of measurement data-supplement 2 to the "guide to the expression of uncertainty in measurement"-Extension to any number of output quantities[S]. Paris: Joint Committee for Guides in Metrology, 2011.
[21]
ISO/TR 16015: 2003, Geometrical product specifications (GPS)-Systematic errors and contributions to measurement uncertainty of length measurement due to thermal influences[S]. Switzerland: International Organization for Standardization, 2003.